3.1应力与强度杆件的变形与3.3压杆的稳定性分析

3.1应力和强度3.2杆的变形和刚度3.3压杆的稳定性分析杆的强度、刚度和稳定性3.1问题应力和强度引入粗棒（相关） 棒的横截面形状和尺寸相同） 木棒（相同材料）（厚度相同） 棒的材料（相关）杆的横截面形状和尺寸 材料截面应力 材料强度3.< @1.1 应力的概念 横截面被分成相同大小的单位正方形（共25个）。每个正方形的内力分布垂直于横截面但在一侧，并且很接近）很小并且呈三角形变化。 21个相等，即25个单位面积的力是均匀分布的。与截面平行，是“贴”在截面上，大小也可能呈抛物线形变化，即在截面的中间）为最大值，相对的两个方格内的应力截面的边是单位面积。单位面积力的总和 = 截面上的合力。如均匀分布应力），截面积为A，轴向内力不变，分布密度越高，即值越大，反之亦然。所以应力是内力在一点的集中。应力垂直于截面应力，应力平行于截面应力。它用“Pa(Pa)”表示，即1Pa=1KPa=10 Pa=10-3 N/mm 如何通过改变几何形状或尺寸的大小来改变应力？在相同重量的情况下，脚下的压力会根据鞋子与地面的接触面积而有所不同。

雪橇鞋 高背软椅的低压力是舒适的，而硬板凳的高压力是不愉快的。大头帽使拇指产生舒适的压力，针尖产生非常高的压力。按下时图钉很难。工作台3.<@1.2轴向拉（压）杆应力及强度计算1)拉（压）杆轴向应力拉伸前画两条线段abcd纵向伸长为同一平面假设：变形前横截面为平面，变形后仍为平面，垂直于杆轴的平面假设纵向伸长内力等于应力均匀分布且不恒定）， section不一定是最大的，因为要考虑是否是最小的。 max 当外轴向力较多时，应取最大轴向力。此时，maxmax [例3.1]例2.2中，砖柱上部截面尺寸为240mm240mm，承重=50kN；下截面为370mm370mm，承受载荷（1）做轴向力图截面AB：A（2）求应力正负号MPa 87 N/mm87 5760010 50 13690010 150，结果为正，为拉应力，负为压应力。AB截面：kN 50 BC截面：kN 150是斗式提升机。斗式提升机用链条连接。链条计算示意图如图（ b).重量P=2000N.钢链由两层钢板组成，如图(c)所示，每块链板厚40mm，高H=65mm，钉孔直径d=30mm。

求链板的最大应力。 【解法】（1）求轴向力，画轴向力图（2）求应力：腰：A=2ht=240mm4.5mm=360mm4.5mm =315mm 38N/mm 38315 2000 maxmax 链条钉孔处最大应力 材料名称及牌号 许用应力 Q235170 170 100 低合金钢 Q345 230 230 140 灰口铸铁 34～54 160～200 混凝土 C20 0.44混凝土 C30 0.@ >6 10.3 橡木、桦木等（顺纹） 8～10 12～16 2)强度条件与材料强度最大应力比较 受拉强度条件（压缩）杆：maxmax 表3.1 常用材料的许用应力值（MPa）（适用于常温、静载荷和一般工况下的杆）轴向拉力为许用剪应力。轴向压缩maxmax（< @1） 强度检查：知道材料、尺寸（ ）和载荷（ ），检查杆的强度是否符合要求 maxmax max 问题：想用，但不经济；som etimes 可以稍大一些，但不能超过 5%。 (2）截面选择：(3）允许载荷：已知材料、尺寸(max3)强度计算的截面是危险截面max是材料计算允许三种强度条件的应力强度 安全与不安全（内力与荷载关系） 结构的最大允许荷载 [例3.3] 有一根方形截面高24m的花岗岩柱，轴作用于其顶部 载荷 P=1000 kN。

知道石料的容重和许用压应力MPa后，石柱设计所需的截面尺寸分为两种情况：（1）柱为等效杆；（2）立柱分为三个截面的阶梯杆 kN/m28 <@1.利用平衡方程计算轴向力：由公式（A）可以得到轴向力图 maxmax 2410 28 10 10 1000(2）阶梯柱比较：在考虑自重的影响时变截面h型钢重量计算，相当于从材料的许用应力中减去。如果是变截面杆（如阶梯形） 1028 10 10 1000 1028 10 1028 10 1000 1028 10 1028 10 1000 3.等直柱和阶梯柱所用材料对比等直柱和梯形柱 7724 24 阶梯柱节省材料3.<@1.3 计算梁的正应力与强度的关系1)分析中性层和梁中性轴的变形，显示两个横截面；在两条横向线之间，画两条纵向线 mmnn aa bb ，它们仍然是直线，但倾斜了一个小角度，即横截面仍然保持在平面上。 mm nn 都变成弧线，变短又变长。 aa bb aa bb 缩短而不是延长。 aa bb 为同一纵向纤维层，即中性层，其截面上的轴为中性轴。在这里，中性层之上是受压区，中性层之下是受拉区。 )，金额越大。

) 应力最大；在中性层，应力为零。如果横截面上的中性轴值相同，则该值不会改变。 ，即在梁的上下边缘处，压（拉）应力的绝对值最大。截面几何形状 惯性矩截面的形状和尺寸会根据梁的承载能力而有所不同 / 12 矩形截面对 / 12 结论：相同的梁，在相同的载荷下，垂直放置时的承载能力高于水平放置时要坚固。最大法向应力出现在离中性轴最远的边（max），max maxmax 越大，梁越小，梁的弯曲性能越好，反之亦然，4)法向应力横向力弯曲公式，最大弯矩max所在的截面，应力大于其他截面的应力，属于危险截面。 maxmax 横向弯曲的法向应力公式：在距离中性轴最远的边缘处 (y=y max )。结论：中性轴在危险截面（即Mmax所在的截面），max（1）强度条件maxmax-材料弯曲许用应力强度条件变为：脆性材料：，为了使材料的最佳利用，常采用上下不对称截面，此时同一截面有两个受弯截面模量，较小的有较大的应力。（2）强度计算许用载荷< @5)强度条件，如果满足maxmax max 则计算安全，否则不安全。截面形状和尺寸。

最大负载。 【例3.4】如图所示楼板主梁为工字钢。已知集中载荷P=75kN，跨度l=10m，钢材的许用弯曲应力=152MPa，尽量选择工字钢截面型式。 【解法】梁的两端有轻微转动和膨胀的可能，所以梁的计算图可视为简支梁，kN375 max = (375）/2=112.5kN 再画梁的弯矩图，最大弯矩为cm2467 102467 10 152 10 375 附录3型钢表，选用56b工字钢，但相差不到1%，所以可以[例3.5]矩形截面简支木梁，已知=4m，b=120mm，h=180mm，q=5.1kN/m，截面的许用应力wood [σ] = 10MPa. 检查梁的强度 mm10 32 5812 180 120 12 mm10 648 9010 32 1010.2 3.强度检查 MPa 15mm mm 10648 maxmax MPa10 因此不安全4.截面重置为maxmm 10 02（为什么？） 北宋李杰《造法》：“梁的大小应根据它的宽度和高度t, 两部分成其厚度” 1002 200mm3.<@1.4 梁的剪应力和强度计算 横向力 弯曲 正应力 剪力 V(内力) 抛物线截面，当maxmax危险截面bh maxmax 任意截面任意荷载【例3.6】图中为矩形截面悬臂梁，尝试比较在截面中出现的最大剪应力和最大正应力。

最大负弯矩出现在梁的根部，Mmax = Pl在所有截面上，剪力值不变，Vmax 2.求最大剪应力bh maxmax 3.求由于矩形截面的最大正应力因此，maxmax bhpl maxmax 的比率是梁高跨比 max 的四分之一。一般来说，对于细长梁，对于一般梁（不是短粗梁或非薄壁梁），强度只按正应力计算，不需要考虑剪应力2)剪力薄壁截面梁的应力 薄壁腹板最大壁厚远小于宽度和高度 I 型、T 型和环形等薄壁截面梁 I 型截面：上、下翼缘很小，不计。腹板呈矩形，在中性轴上（z相差很小，maxmax是腹板的面积） 腹板T形截面：它的腹板类似于工字形腹板，在中性轴（z轴）上方) 部分。 max 仍然出现在中性轴（z 轴）上方。 max 材料在纯剪切下的许用剪应力 梁的剪应力强度条件：对于截面为矩形的等直梁，其强度条件：maxmax [例3.7] 简支木梁一个矩形截面，梁上有一个均匀的载荷 q 作用在它上面。已知：l=4m，q=4kN/m，弯曲时材料的许用拉应力和许用剪应力；如果取截面的高宽比为3/2，尝试确定矩形截面的高和宽。 MPa 11 10727 1011 10 10727 ,取b=13cm,h=19cm 3.检查剪应力强度条件：<@1.2MPa MPa486 maxmax满足3.2 杆的变形和刚度的引入是变形太大？杆子坏了吗？刚度条件取决于强度条件取决于问题：如何确定构件的变形？它的大小是如何计算的？什么是刚度条件？ 3.2.1 胡克拉伸（压力）杆轴向变形定律1)纵向变形杆的纵向变形（伸长或缩短）是轴向伸长、缩短、内力的作用，变形与外力2)横向变形设原横向尺寸为a，变形后为3)线应变问题：纵向拉伸弹性橡皮筋的伸长率Δl相同，并且减薄程度小（厚）和减薄程度大（变形程度与纵向应变、横向应变、应力不超过材料比例极限4)之间的关系应力和应变——胡克定律 杆伸长或压缩的变形量与杆截面与材料的面积弹性模量成正比，不同的实验确定A为杆的横截面积，所以EA回覆表示横截面的刚度。两层意思。如EA胡克定律结论：当应力不超过比例极限时变截面h型钢重量计算，应力与应变成正比，比例常数为弹性模量E。

弹性模量E 比例常数是一个有单位的量，所以也叫模量EA。对于由钢构成的变截面杆，AB截面的截面积为A = 20102 mm，DE截面的截面积为A = 10102 mm = 100 GPa，弹性钢的模量为 E = 200 GPa。求杆的总纵向变形量 Δl。各段长度变化分别计算，最终代数和为杆总纵向变形量 1010 20 10 100 1050 ABAB AB 1010 20 10 100 1020 BCBC BC 1010 20 10 200 1030 CDCD CD 1010 10 10 200 1030 DEDE DE（正值表示管片拉长，负值表示管片缩短） DE CD BC AB 3.2.2 梁的弯曲变形和刚度校核截面 AB 轴为直线线变形前挠曲曲线 连续平滑曲线变形后，讨论截面变形前截面的面内旋转角位移。 rad) 单位通常以 mm 或 cm 为单位。顺时针为正，逆时针为负。偏转为负。向下是积极的。向上为负。 16EIPl 最大旋转角度：挠度曲线方程：EIPx max48EI Pl EIqx 24EIql 最大旋转角度：最大挠度：挠度曲线方程：最大旋转角度：最大挠度：EIPx 2EIPl max3EI Pl EIqx 6EIql max8EI ql 2)通过叠加计算梁变形[例3.9]一级截面简支梁集中荷载作用于其上 A124EI ql EIql A216EI Pl 48EIPl 多个荷载叠加的梁角位移荷载 梁角位移荷载单独作用 A2A1 1624 EI Pl EI ql C2C1 48 384 EIPl EI ql 3)beam 检查梁的变形是否超过允许值。梁的刚度条件：最大刚度条件梁的允许挠度[ ]限制在范围内，规范对数值有具体规定。

梁应满足强度条件。一般来说，控制动作的从属状态是选择梁的截面，然后检查梁的刚度。 【例3.10】有简支梁，已知：l=6m，q=4kN/=1/400，根据强度条件，梁选用22a工字钢，其弹性模量E = 200GPa；尝试检查梁的刚度。 【解决方法】查看附录3可知22a号工字梁在简支梁作用下的转动惯量=340610-8，最大挠度发生在跨中，为0. 01mm 1010 10 3406 10 200 384 EIql 600001 因此满足刚度要求。 3.3 压力杆稳定性分析 问题介绍 两根粗细相同但长度不同的木杆，为什么长杆容易折断？测试比较不同细长杆的抗压能力 材质：松木 MPa 40 截面尺寸：mm mm30 杆长：mm 200 mm1000 3040 因此，当杆的压力>6000N时出现强度失效问题：强度为计算强度时不考虑拉杆的长度对压杆的承载能力有影响吗？试验得出结论：压杆的承载能力=30N3.3.1 压杆稳定性的概念保持了压杆保持原有线性平衡状态的能力，这称为压杆的稳定性，其破坏称为压杆的不稳定性。压杆强度不足失效压杆失稳失效有明显前兆（如变形过大，肉眼可见） 无明显预兆的突然失效危害更大，加拿大魁北克大桥下弦杆突然倒塌，并且脚手架不稳定。脚手架杆的稳定性尤为重要！特别重要！ 3.3.2 压缩杆的临界力以及材料的配方和杆的尺寸。讨论2)的临界力的计算公式（欧拉公式）：（欧拉公式）（1）压力bar一旦给定，就知道了，也就知道了。

如果较大，则施加的轴向压力是压缩杆面向质心的横截面的最小惯性矩。例如，一个矩形截面的压力杆在截面上不容易出现不稳定，即平面中的最小轴（3）几个支撑约束的临界力公式统一写成如下：【例3.11】一端固定，一端自由1042 1010 1050 12 矩形截面kN 05 4110 200 压杆临界力等边角钢截面面积A=5.08cm cm88 1093 cm93 最小转动惯量压杆临界力 kN 1093 10200 空心圆截面压杆临界力 kN 1021 10200 最小转动惯量 最小转动惯量 1021 2838 比较（1） 三截面面积为接近相同（2）三个截面的临界力相差很大。合理的截面3.3.3 提高压杆稳定性的措施1)在条件下选择合理的压杆截面是合理的n 相同的截面面积，截面的转动惯量较大是合理的。如果杆端约束条件相同，则转动惯量相等（I等于转动惯量12 4812。结论：轴向压缩杆大部分采用方形和空心圆形截面。2. 6倍crcr cr2)增加侧向支撑crcr