线性代数试题及答案.

线性代数 (Exam Paper一） (Exam Paper一） (Exam Paper一）) (Total of This (Total of This (Total of This )本题的 20 20 20 20分，每小时 题分，每小题，每小题，每小题 22 22 1. 排列 排列的倒数是倒数，倒数是倒数为 2222 22 21 21 21 12 12 12 11 11 11 2222 22 21 21 21 12 12 12 11 11 11 aa 3.  已知 nn 阶矩阵、阶矩阵、阶矩阵 AA 和 sum 和 CC满足 满足 EE ABC ，其中， EE 是阶单位矩阵，然后是阶单位矩阵，然后是阶单位矩阵，然后是 CA CA CA BB 矩阵，然后是非齐次线性方程矩阵，然后是非齐次线性方程矩阵, 那么非齐次线性方程 AX AX AX bb 有一个唯一解的充分要求 条件是有充分必要唯一解的 ssary 条件。有唯一解的充要条件是已知矩阵有其秩，已知其秩的矩阵，已知其秩为 44 4，则用 ，再用 ，则以AA为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数是以系数矩阵为齐次线性方程组的解空间维数以系数矩阵为齐次线性方程组的解空间维数为6. 设AA AA 为三阶可逆矩阵，是三阶可逆矩阵，是三阶可逆矩阵，AAAA AAAA 如果是AAAA 矩阵，那么齐次线性方程矩阵，那么齐次线性方程组矩阵，则线性方程组的齐次系统 00 00 Ax Ax Ax Ax 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件ro 解决方案是 8.五阶已知行列式已知五阶行列式五阶行列式已知 11 4545 45 44 44 44 43 43 43 42 42 42 41 41 41 AA 9.@ >  ,1,0,2)2 ,1,0,2) 2,1,0,2) TT 1的模（范数）0.10.10.如果是正交，那么正交，再正交线性代数选择题加答案，那么（本题总分（本题总分（本题总分（本题总分10 10 10 10分，每题分子问题，每个子问题的分数，每个子项的分数，每个子项 22 22 1. group rr 线性相关和sex- and sex- and the rank是三阶方阵，是三阶方阵，是三阶方阵，00 EEEE AA A A EE EE AA AA EE EE AA AA AAAA 333．设置向量组。设置向量组。假设向量组AA可以用向量组BB线性表示，然后线性表示，再线性表示，那么(d)阶矩阵的行列式 阶矩阵的行列式AA 等于 行列式 等于 DD kAkA kA 等于 等于 _____ kAkA kA 阶矩阵 阶矩阵 阶矩阵 AA sum 和 sum CC ，那么下列哪种说法是正确的，那么下面的说法是正确的, 那么下面的说法是正确的_____ ACAC AC AB AB AB AB AB AB AB ABAB AB（本题总分（本题总分（本题总分（本题总分60 60 60 60分。

1-31-3 1-3 每题 1-3 每题 每题 每题 每题 每题 每题 88 每题 88 分，每题 4-7、4-7、4-7、4-7 题每个问题 每个问题 每个问题 每个问题 99 99 1. 计算 计算 计算 nn 阶行列式 阶行列式 阶行列式 22 ．设 AAAA 为三阶矩阵， 为三阶矩阵， 为三阶矩阵， AAAA 为 AAAA 的伴随矩阵， 的伴随矩阵 ， 的伴随矩阵 ， 和 22 AAAA AAAA AA AA 22 333. 求矩阵的逆。求矩阵的逆。求矩阵的逆讨论讨论什么值，什么时候非齐次线性方程组的值是什么，什么时候非齐次线性方程组的值是什么时候，非齐次线性方程组22有唯一解；有一个独特的解决方案；有一个独特的解决方案；有无限的解决方案；有无限的解决方案；有无限的解决方案；没有解决方案。没有解决方案。没有解决方案。 5.  求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基本解系统和该方程组的通解。求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基本解系统和该方程组的通解。求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基本解系统和该方程组的通解。 ，找到这个向量组的最大独立群，找到这个向量组的一个最大独立群，找到这个向量组的一个最大独立群，把这个用于剩下的向量，把这个用于剩下的向量，把这个最大值用于剩余向量 独立组的线性表示。最大独立组线性表示。最大独立组线性表示。 7. 确定矩阵求矩阵求矩阵AAAA的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 (Total of this (Total of this (Total of this (Total of this (Total of this 10 10 10 10 AXAX AX 一个解, AX的一个解, 的一个解, 11是对应的齐次线性方程 是对应齐次线性方程 是对应齐次线性方程方程组 00 AXAX AX 的基本解系统， 的基本解系统， 的基本解系统，证明证明证明 11 是线性无关的。

线性独立。线性独立。 (本题总分(本题总分(本题总分(本题总分(本题总分20 20 20 20分,各分项,各分项,各分项,各分项) 1~151~15 1~15 1~15 22 22 33 33 33 33 CA CA CA 44 44 5555 22 22 66 66 7777 8888 00 00 99 99 33 33 10 10 10 10 11 11 11 11、, , , DD DD;; ;;22 22、, ,, AA AA;; ;33 33、, ,, DD DD;;;;44 44、, ,, CC CC;;;;（本题共60分60分60分60分，1-31-3 1-3 1-3 88 88分每题，4-74-7 4-7 4-7 he 99 99 1111 DD ——3——–3 ——3 ——3 11 222rr — —-6——-6 — —-6 ——–6 ———-8———- 8 ———-8 —- ——8 11 11 222AA ABAB AB ——1 ——1 ——1 – —–1 ——5— —5 ——5 ——5 22 22 1717 17 11 11 11 11 11 11 66 1010 10 22 1616 16 12 12 12 88 1111 11 33 ——–8 ——–8 ——–8 ——–8 AAAA AAAA AA AA 22 AAAA AAAA AA AA 22 AAAA AA AA EE AAAA 44 AAAA 33 33 AAAA AA AA AA AA 22 5555 27 27 27 16 16 16 44 AAAA AA AA A A AA AA AA AA 88 88 44 44、, —3- –3 —3 —3 22 —6—6 —6 —6 — —–8——-8 ——-8 ——-8 ———3—- —–3 ———3 ———3 11 11 33 ——5———5 ——5 —— 5 22 22 33 ——–7——–7 ——–7 ——–7 33 33 — —— 9——-9 ——–9 ——–9 66 66 ——–3—– —3 — —–3 ——–3 —–6—–6 —–6 —–6 —7 —7 — 7 —7 —9—9 —9 —9 77 77、, )) (0,0,1)(0,0,1) (0,0,1) TT 2,1)2,1) 2,1) TT (Total Total (Total Total (Total of this (Total of this 10 10 10 10 AXAX AX 11 点 点 点 点） 点 点 点 点）） AXAX AX bb AXAX AX 点 点 点 点）。 (10(10(10(10分分分)(本题总分(本题总分(本题总分20 20 20 20分，每小题加分，每小题加分) -，每个子问题的分值，每个子问题的排列方式 逆序号是 逆序号是 逆序号是 2.函数 函数的系数是 系数是 系数是系数为 333. 建立一个三阶方阵. 建立一个三阶方阵. 让三阶方阵行列式的行列式 AA 33 元齐次线性方程的行列式的行列式元素齐次线性方程组 元素齐次线性方程组 AX=0 AX=0 AX=0 有一个非零解的充分必要条件 条件是有一个非零解，充要条件是有一个非零解一个非零解。充要条件是 555。设置向量 。设置向量。如果向量是正交的线性代数选择题加答案，那么它们是正交的，那么它们是正交的，然后是 666. 三阶方阵。三阶方阵。三阶方阵 AA 的特征值为 4, then with, then with, 那么以 AA 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数就是齐次线性方程组的解空间维数以系数矩阵为齐次线性方程 以系数矩阵 群的解空间维数为阶方阵、阶方阵、阶方阵、AA 1010 10. A 已知。一个已知的 .已知 22 类似 类似 类似 11 (Total of this (Total of this (Total of this (Total of this 10 10 10 10 分，每个分项，每个分项，每个子项，每个子项1.设令nn阶矩阵的行列式 阶矩阵AA等于阶矩阵的行列式 阶阶等于DD 等于(B )-5(B)-5 (B)-5 DD 阶方阵 阶方阵 AA 阶方阵与对角矩阵相似的充要条件是与对角矩阵相似的充要条件对角矩阵 不相关的特征向量 线性无关的特征向量 (B)  矩阵 矩阵 AA 特征值 特征值 特征值 (C)  矩阵 矩阵 矩阵 AA 行列式 A 行列式 00 (D)  矩阵 矩阵 AA A 的特征方程没有重复根. A 的特征方程没有重根. 如果特征方程没有重根, 非齐次线性方程组的矩阵是非齐次线性方程组的矩阵, 非齐次线性方程组 AX AX AX bb 有一个唯一解的充要条件是是一个独特的解决方案。有唯一解的充要条件是4.设向量集合集合向量集合集合向量集合AA可以由向量集合可以由向量集合可以由向量集合设置 BB 线性表示，然后线性表示，然后线性表示，然后 () 5.向量组向量组向量组 11 线性相关和rank 是线性相关和rank 是线性相关并且rank 是rr （本题的总分（Total of本题（本题总分总分（本题总分60 60 60 60分，每小题，每小题，每小题，每小题10 10 10 10 1.计算计算计算nn order order 行列式 order : 222. 已知矩阵方程. 已知矩阵方程. 已知矩阵方程 AX AX AX AA , 求矩阵, 求矩阵, 求矩阵 XX , 其中 22 3.  让 nn 阶平方矩阵阶方阵 矩阵阶方阵x A A A 满足 00 , Proof Proof Proof 33 , and , and , 11 44​​4。求下列非齐次线性方程组的通解和对应齐次线性方程组的基本解系统。求下列非齐次线性方程组的通解和齐次线性方程组对应的基本解组。求下列非齐次线性方程组的通解和齐次线性方程组对应的基解系:: 555。求下列向量群和一个最大独立群的秩。求下列向量组的秩和最大独立组。求以下向量组的秩和一个最大独立组 , , , 剩余向量用最大独立组线性表示，剩余向量用最大独立组线性表示。其余向量由最大的独立组线性表示。 666．已知的二次型： 。已知的二次形式： 。已知二次方：33 33 22 22 33 33 11 11 22 22 11 11 22 22 33 33 22 22 22 22 22 22 11 11 33 33 22 22 11 11 8888 44 44 44 44 55 xx 55 xx5 xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx ff ff 正交变换 正交变换 正交变换 正交变换 3333 22 22 11 11 xx xx xx xx xx xx xx ff ff 标准形状，发现其正交变换矩阵是一个标准形式，求其正交变换矩阵为标准形状，求其正交变换矩阵（本题总分（本题总分（本题总分（本题总分10 10 10 10分，分为每个子问题，每个子问题的分数，每个子问题的分数，10 10 10 10 每个子问题， 与向量组和向量组与向量组rr线性无关，证明线性为独立，证明线性独立，证明向量群表示向量群cle ar 向量组 rr 线性无关 线性无关 线性无关。 9999 22 1010 10 10 22 (Total of this (Total of this (Total of this (Total of this (Total of this ) 总分 10 10 10 10 分每个子问题, 对于每个子问题, 对于每个sub-, For each sub- (Total of this (Total of this (总本题)) 总分 (本题共 60 60 60 60 分, 每个小题, 每个小题, 每个小题, 每个子项 10 10 10 10 1111 DD ——4——4 — —-4 ——4 11 222rr