【第二季第4篇】接下来：微积分的发展故事是很微妙

本系列文章预计有10章。这套文件将系统地描述物理学本身。今天是第二季第四篇。

在接下来的 2 节中，我们来谈谈高等数学 – 微积分。

微积分的发展故事很微妙，只要你有初中数学水平，就能看出来。接下来，我们将带您一起学习。无穷小是微积分的基础。如果没有无穷小，就没有微积分，如果你不知道什么是无穷小，你就不知道什么是微积分！在数学史上很长一段时间里，人们把微积分称为无穷小分析。

这也是我们在讲“芝诺悖论”的概念时做了很多铺垫的地方。然而，在提到芝诺悖论之后，无穷小就像一把锋利的刀，插在数学家和物理学家身上。身体上，因为有些自然科学要统一却不能统一。

芝诺悖论提出的关于无穷小、无限和连续统的问题继续质疑各个时代最聪明的头脑。无穷小思想的演变是一个漫长的过程，当逻辑无法提供解决方案时，人们往往会求助于直觉。直到 19 世纪，无穷小才最终被严格的导数和积分概念所取代。

在 17 世纪，人类科学面临着四种类型的问题。

第一类：运动学问题在研究运动物体时出现，尤其是瞬时速度。例如，如果您正在开车，有没有办法显示您当前的时速？

第二类：曲线的切线，因为当时正在处理镜头设计问题，需要使用曲线的法线

第三类：最有价值的问题

第四类：求解曲线的弧长和曲线所包围的面积 这四种问题是微积分诞生的主要原因。而这些问题都与一个特殊的难点有关：变量的瞬时变化率。

01 思想的萌芽

伽利略曾经说过，如果两个无穷小数之比趋于零或无穷大，那么它们的阶数不同；如果两者之比为非零有限数，则它们的阶数相同。这个想法是，高阶无穷小非常小，并且很快趋于零，以至于可以从方程中忽略它们，因为它们对结果几乎没有影响。这个想法对经典微积分至关重要！

物理定义，速度是距离与时间之比的变化率，即速度是位置的变化率。变量的变化率，强调它们正在变化的事实。芝诺悖论弗亚说小学求平均速度的公式，瞬间，没有这样的速度，因为瞬间没有时间消耗，所以不可能有动静。现实情况是，例如，每个驾驶汽车的人每时每刻都有一个真实的速度，这是肯定的。

通常，平均速度的概念很好，但是当物体以可变速度移动时，首先出现处理瞬时速度的问题。人们很容易将平均速度理解为距离除以时间。但是求平均速度的方法不能得到瞬时速度，因为在一瞬间，物体运动的距离为零，所用的时间也为零，用零除以零是没有意义的。因此，必须找到一种非同寻常的方法来成功地定义和计算瞬时速度。

当时的科学家对瞬时速度缺乏准确清晰的认识，此外，还缺乏计算瞬时速度的方法。后来发现，瞬时速度是平均速度随着时间间隔接近零而接近的值。

通过扩展定义和计算瞬时速度的方法，可以使用计算给定时刻距离和时间变化率的相同数学过程来计算一个变量相对于另一个变量的变化率。例如，距离对时间的瞬时变化率是速度小学求平均速度的公式，而速度对时间的瞬时变化率是加速度。嗯，越来越清晰了！

02 衍生品的诞生

为了处理瞬时速度的概念，数学家将空间和时间理想化了，正是通过这种理想化，数学不仅产生了瞬时速度的概念，而且给出了一个变量依赖于另一个变量的公式变量的瞬时变化率称为导数。

导数的概念可以由这样一个物理概念提出：某个无穷小时间内的速度。导数的本质是瞬时变化率，瞬时变化率是增量的极限。

导数的几何意义体现在曲线上的割线运动上，割线运动也有一个平均变化率。当平均变化率达到极限时，割线变为切线。平均变化率就是割线和切线重合时的瞬时“速度”，也就是切线的斜率。因此，导数的几何意义就是曲线在某一点的切线的斜率。

此时，牛顿虽然用导数来解释速度和加速度之间的物理意义，但遗憾的是，他的理论还有一个缺陷，就是仍然没有解释无穷小的概念。与牛顿一起发明微积分的莱布尼茨也是模棱两可的。然而，就在此时，著名的唯心主义哲学家伯克利对牛顿的理论提出了质疑。你说的无穷小时间是零吗？

如果为零，他就不可能是分母。如果它不为零，那么您仍在求解平均速度，而不是瞬时速度。牛顿……无语。

牛顿只能说非常小，可以忽略不计，可惜这点贝加莱无法争论。但是你难道不知道，无穷小的概念终于在一百年后由奥古斯丁·路易斯·柯西和卡尔·韦尔斯·特斯拉提出来了。

03 数学的第二次危机

如果物理学使用带有歧义的无穷小数是有道理的，但数学绝不允许歧义。伯克利提出的无穷小悖论是一场真正的数学危机，被称为历史上的“第二次数学危机”。这场危机的根源在于牛顿无法解释什么是无穷小。

吴军说：某个时代的危机，不是那个时代的人自己能解决的，因为所谓时代的危机，是因为它的起因超出了那个时代所有人的认知，会形成一场危机，因为解决方案危机总是需要背后的人开发新的理论来解决它。

也就是说，当量子力学出现时，那个时代的人无法理解量子力学中粒子的鬼魅行为。这部分我们稍后再讨论。

在下一节，我们来谈谈这场危机是如何解决的。

总结：从今天的文章中，给我以下启示：

1、相信时间的力量和优化的力量。

许多人喜欢一次性完成所有事情，但这是不可能的。再伟大的自然哲学-数学也要经过几千年的洗礼，也只有经过几代人的洗礼才能完成，更不用说手头上的小事了。

我认为保持优化很重要，这就像开发软件，第一次制作第一个版本，然后进行迭代一样。迭代来自于自己“品味”的提升和他人的反馈。所以我们最好用批判性思维来看待事物的本质。

2、思想很重要你说思想很重要，其实理论很重要。我们现代人总是局限于执行力去尝试做一件事，却往往忽略了理论的重要性，理论虽退却，操作却务实。但是没有理论的支撑，你的基础是空的，随时都有可能崩溃。

我认为学习任何技术，我们不能光技术本身，比如某项操作，很简单。但如果不了解原理，很容易忘记，也很难从事物本身中提炼出经验和方法。

Masir 2021/5/24 东莞

祝你幸福~